Не рекомендуется одновременный переезд и редизайн сайта. Риск потери позиций есть даже при полном соблюдении рекомендаций поисковых систем.

Разделите переезд на этапы:

Переезжаем на новую CMS с текущим дизайном. Важно сохранить старые url. Если сделать не удается, настраиваем 301 редирект.

Дальше ждем, пока роботы переиндексирует новую CMS и смотрим, изменилась ли при этом видимость сайта (срок индексации новой CMS, зависит от размера сайта).

• Вариант 1 — ошибок нет, видимость/трафик на уровне - все ок, можно на эту CMS выкатывать новый дизайн.
  


• Вариант 2 — позиции/трафик существенно просели – нужно проверить ошибки в GSC и просканировать сайт парсером. После исправления ошибок, подождать,пока не пропадут ошибки и выкатывать новый дизайн.
  

Меняем дизайн
Пока проводите переезд на новую CMS, нужно протестировать новый дизайн до того, как он будет выложен на сайт.

• Шаг 1 — Нужно выкатить новый сайт на отдельном домене или поддомене (обязательно закрытом к индексации) и сделать теханализ до того, как он будет залит на домен.
  


• Шаг 2 — После заливки дизайна на основной домен само собой нужно внимательно мониторить индексацию, видимость и трафик - как это делали при смене CMS